Προσαρτημένα τετράγωνα

Κατασκευάζουμε ένα γεωμετρικό σχήμα με μια ακολουθία των εξής βημάτων: 

Στο βήμα $1$, ξεκινάμε με ένα τετράγωνο $4 × 4$. 

Στο βήμα $2$, προσαρτούμε ένα τετράγωνο $1 × 1$ σε κάθε πλευρά του αρχικού τετραγώνου, έτσι ώστε τα νέα τετράγωνα να 

βρίσκονται στο εξωτερικό του αρχικού τετραγώνου, να έχουν μια πλευρά κατά μήκος της πλευράς του αρχικού τετραγώνου και τα μέσα των πλευρών του αρχικού τετραγώνου και και τα μέσα μικρότερων τετραγώνων να συμπίπτουν. 

Στο βήμα $3$, προσαρτούμε ένα τετράγωνο $\dfrac{1}{4}×\dfrac{1}{4}$  στα κέντρα καθεμίας από τις $3$ εκτεθειμένες πλευρές καθενός από τα 4 τετράγωνα που συνδέονται στο βήμα $2$. 

Για κάθε θετικό ακέραιο $n$, στο βήμα $n +1$, προσαρτούμε τετράγωνα των οποίων οι πλευρές είναι $\dfrac{1}{4}$ όσο οι πλευρές των τετραγώνων που συνδέονται στο βήμα $n$, τοποθετώντας με τρόπο ανάλογο. 

Η εικόνα δείχνει το σχήμα μετά το βήμα $4$. Εάν αυτό συνεχιστεί για όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $n$, το εμβαδόν της περιοχής που καλύπτεται από όλα τα τετράγωνα που συνδέονται σε όλα τα βήματα είναι $\dfrac{p}{q}$ , όπου $p$ και $q$ είναι σχετικά πρώτοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. 

Βρείτε το άθροισμα $p +q$.