Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 42ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Θεωρούμε τρίγωνο . Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο Έστω το έγκεντρο του .

Αν

να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται το σύνολο και έστω δύο υποσύνολα του . Συμβολίζουμε με και τον αριθμό των στοιχείων του και αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι

Να αποδείξετε ότι τα σύνολα και περιέχουν ένα τουλάχιστον κοινό στοιχείο.

Σημειώνουμε ότι το συμβολίζει το σύνολο

ΘΕΜΑ 3ο

Ένας ειδικευόμενος γιατρός πρόκειται να εργαστεί σε ένα νοσοκομείο για πέντε ημέρες κατά τον μήνα Μάρτιο. Η διεύθυνση του νοσοκομείου δεν επιτρέπει στον ειδικευόμενο γιατρό να εργάζεται δύο συνεχόμενες μέρες στο νοσοκομείο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο γιατρός να επιλέξει τις πέντε μέρες που θα εργαστεί στο νοσοκομείο;

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

  .

Να δείξετε ότι

  .

Πότε ισχύει η ισότητα;

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης   
Πηγή: mathematica