Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 44ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

α) Πόσες μεταθέσεις των αριθμών είναι τέτοιες ώστε για κάθε ;

β) Πόσες μεταθέσεις των αριθμών είναι τέτοιες ώστε

για κάθε και

για κάθε ;

ΘΕΜΑ 2ο

Οι ρητοί αριθμοί και και ο περιττός θετικός ακέραιος είναι τέτοιοι ώστε

Να δείξετε ότι

ΘΕΜΑ 3ο

Έστω ένας ακέραιος και πραγματικοί αριθμοί ώστε

  .

Δείξτε ότι αν , τότε υπάρχει τέτοιος ώστε 

.

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω θετικός ακέραιος. Σε ένα συνέδριο συμμετέχουν σύνεδροι. Οι επίσημες γλώσσες που ομιλούνται στο συνέδριο είναι Για κάθε ζεύγος γλωσσών, ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις δύο γλώσσες είναι ενώ για κάθε τριάδα γλωσσών ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις τρεις είναι

Να αποδείξετε ότι δύο οποιοιδήποτε σύνεδροι μπορούν να επικοινωνήσουν σε κάποια από τις επίσημες γλώσσες και ότι μία τουλάχιστον γλώσσα ομιλείται από τουλάχιστον συνέδρους.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης   
Πηγή: mathematica