Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 45ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη διαφορετικών θετικών ακεραίων για τα οποία ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.

ΘΕΜΑ 2ο

Έστω το σύνολο όλων των επταψήφιων θετικών ακεραίων που αποτελούνται από τα ψηφία χωρίς να επαναλαμβάνεται κανένα από αυτά.

(α) Να προσδιορίσετε την ελάχιστη θετική διαφορά δύο διαφορετικών στοιχείων του

(β) Να προσδιορίσετε το πλήθος των ζευγών με για τα οποία

ΘΕΜΑ 3ο

Έστω με Να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ 4ο

Θεωρούμε τρίγωνο με και σημείο της πλευράς Έστω και οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα. Έστω ακόμη το σημείο τομής των ευθειών και και το σημείο τομής των και

Να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης   
Πηγή: mathematica