Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 46ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα

ΘΕΜΑ 2ο

α) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 17 ακεραίους, υπάρχουν 5 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 5. Ισχύει για 16 αριθμούς;

β) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 7 ακεραίους, υπάρχουν 4 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 4. Ισχύει για 6 αριθμούς;

γ) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 2025 ακεραίους, υπάρχουν 729 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 9.

ΘΕΜΑ 3ο

Από μια σκακιέρα αφαιρέσαμε τετράγωνα Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα!

ΘΕΜΑ 4ο

Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο με και έστω το σημείο τομής των ευθειών και . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στα σημεία και . Έστω και τα σημεία επαφής των εφαπτομένων από το στον περιγεγραμμένο κύκλο του με τον κύκλο αυτό. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica