Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 48ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Αν

,

και

.

να γράψετε σε ανάγωγη μορφή το κλάσμα .

ΘΕΜΑ 2ο

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 

ΘΕΜΑ 3ο

Δυο άνισοι κύκλοι τέμνονται στα σημεία  και 

Από σημείο  της ευθείας , που βρίσκεται προς το μέρος του  φέρουμε εφαπτόμενες προς τους δυο κύκλους και έστω  και  τα σημεία επαφής.

Οι κάθετες στις εφαπτόμενες στα σημεία επαφής τέμνονται στο 

Να αποδείξετε ότι  αν και μόνον αν τα σημεία  είναι συνευθειακά.

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω  το σύνολο  Υποθέτουμε ότι το  είναι υποσύνολο του  τέτοιο, ώστε να έχει την εξής ιδιότητα:

«Αν τα  είναι διαφορετικά στοιχεία του  τότε το  δεν διαιρεί το .»

Να βρείτε το μέγιστο δυνατό πλήθος των στοιχείων του υποσυνόλου 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica