Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 49ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Έστω  ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε οι αριθμοί  και  να είναι τέλεια τετράγωνα. Δείξτε ότι ο αριθμός  είναι σύνθετος.

ΘΕΜΑ 2ο

Στην περιφέρεια ενός κύκλου τοποθετούμε τους αριθμούς  Έστω  το μεγαλύτερο άθροισμα τριών διαδοχικών αριθμών.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του 

ΘΕΜΑ 3ο

Οι κύκλοι  κέντρου  και  κέντρου  εφάπτονται εξωτερικά στο  Ένας τρίτος κύκλος, ο  που περιέχει στο εσωτερικό του τους  και  εφάπτεται στον  και στον  στα σημεία  και  αντίστοιχα. Η ευθεία  προεκτεινόμενη τέμνει τον  στο .

Να αποδείξετε ότι οι ευθείες  και  τέμνονται πάνω στον .

ΘΕΜΑ 4ο

α) Οι πραγματικοί αριθμοί  ικανοποιούν τις σχέσεις 

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης 

β) Οι πραγματικοί αριθμοί  ικανοποιούν τις σχέσεις

  

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης 

Μπορούμε να γενικεύσουμε;

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica