Άθροισμα $m+n$

Έστω $x$, $y$ και $z$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν

\begin{align*} \sqrt{2x - xy} + \sqrt{2y - xy} & = 1\\ \sqrt{2y - yz} + \hspace{0.1em} \sqrt{2z - yz} & = \sqrt{2}\\ \sqrt{2z - zx\vphantom{y}} + \sqrt{2x - zx\vphantom{y}} & = \sqrt{3}. \end{align*}

Αν η τιμή της παράστασης 

$\big[ (1-x)(1-y)(1-z) \big] ^2$ 

μπορεί να γραφεί ως $\dfrac{m}{n}$, όπου $m$ και $n$ ακέραιοι θετικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους, να υπολογιστεί το άθροισμα $m+n$.

AIME 2022