Κριτήριο παρεμβολής

Υποθέτουμε ότι "κοντά στο $x_0$" μια συνάρτηση $f$ "εγκλωβίζεται" ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις $h$ και $g$. Αν, καθώς το $x$ τείνει στο $x_0$, οι $g$ και $h$ έχουν κοινό όριο $ℓ$, τότε, όπως φαίνεται και στο σχήμα, η $f$ θα έχει το ίδιο όριο $ℓ$. 

Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν   ●  h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και   ●  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} h(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)=l$ τότε $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=l$.

Για παράδειγμα, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} (xημ \dfrac{1}{x} )=0$. Πράγματι, για $x ≠ 0$ έχουμε

$| xημ \dfrac{1}{x} | = | x | | ημ \dfrac{1}{x} | \leq | x |$

οπότε

$- | x | \leq xημ \dfrac{1}{x} \leq | x |$

Επειδή $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} (- | x | )=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}| x | =0$, σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} (xημ \dfrac{1}{x} )=0$.

Από το σχολικό βιβλίο Μαθηματικά, της Γ Λυκείου.