Έστω $\mathbb{Q}$ το σύνολο των ρητών αριθμών. Μία συνάρτηση $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ λέγεται υδροθερμική, αν ικανοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε $x, y \in\mathbb{Q}$ ισχύει τουλάχιστον μία από τις ισότητες:
$f(x+f(y))=f(x)+y$
ή
$f(f(x)+y)=x+f(y)$.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $c$ τέτοιος, ώστε για κάθε υδροθερμική συνάρτηση $f$ να υπάρχουν το πολύ $c$ διαφορετικοί ρητοί αριθμοί που γράφονται στη μορφή
$f(r)+f(-r)$
για κάποιο ρητό αριθμό $r$, και να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του $c$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου