Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [91]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω η συνάρτηση \[ f(x) = x^3 + \kappa x^2 + 2 + \int_{0}^{2} f(x) \,dx \]για την οποία γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη στο σημείο \( M(1,f(1)) \) διαπερνά τη γραφική της παράσταση. 

α) Να δείξετε ότι \( \kappa = -3 \) και \[ \int_{0}^{2} f(x) \,dx = 0 \] β) Να δείξετε ότι η \( f \) έχει δύο τοπικά ακρότατα και ένα σημείο καμπής συνευθειακά. 

γ) Αν η \( g \) είναι συνεχής στο \( \mathbb{R} \) και \[ g^3(\alpha) - g^3(\beta) = 3 \left( g^2(\alpha) - g^2(\beta) \right) \] με \( g(\alpha), g(\beta) \in (2, +\infty) \), να δείξετε ότι η \( g \) έχει κρίσιμο σημείο στο \( (\alpha, \beta) \). 

δ) Βρείτε το πλήθος των τιμών του \( \lambda \in \mathbb{R} \) αν ισχύει ότι: \[ \int_{λ^3}^{3λ^2-2} f^2(x) \,dx = \lambda^3 - 3\lambda^2 + 2 \]