Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [93]

  Γιάννη Τσομπανόπουλου  

Δίνεται η σχέση: $$x f(x) + f'(x) = x, \, x \in \mathbb{R}$$ και $f(0) = 0$.

(a) Να βρεθεί η συνάρτηση $f$.

(b) Να μελετηθεί η $f$ ως προ; τη μονοτονία και τα ακρότατα.

(c) Να λυθεί η ανίσωση: $$e^{\frac{x^2}{2}} \leq \sqrt{2}eln (x - \sqrt{2} + 1) + e$$

(d) Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα $x$, την $C_f$ και την εφαπτομένη της $C_f$, στο $x = \sqrt{2}$ είναι μικρότερο από: $$\frac{\sqrt{2} (e + 1) (e - 1)}{4e}.$$