Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [96]

 Του Νίκου Παπαγγελή  

Δίνεται η συνάρτηση\[f(x) = x^2 \cdot \ln \left(1 + \frac{1}{x} \right), \quad x > 0.\]

(α) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι $1-1$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης $f^{-1}$.

(β) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή και να βρείτε το σύνολο τιμών της γωνίας $\omega$ που σχηματίζει κάθε εφαπτομένη της $C_f$ με τον άξονα $x' x$.

(γ) Να βρείτε την ασύμπτωτη $(e)$ της $C_f$ στο $+\infty$. Κατόπιν να αποδείξετε ότι, στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, η $(ε)$ είναι κάτω από την $C_f$.

(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την $C_f$ και τις ευθείες $(ε)$, $x = 1$ και $x = 2$.

(ε) Δίνεται ότι η συνάρτηση $f^{-1}$ είναι συνεχής.

(i) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f^{-1}$ στο $+\infty$.

(ii) Να αποδείξετε ότι\[\int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x)\,dx + \int_{\frac{\ln3}{4}}^{\ln2} f^{-1}(x)\,dx = \ln 2 - \frac{1}{8} \ln 3.\]