$arctan⁡(1)+arctan⁡(2)+arctan⁡(3)=π$

Να αποδειχθεί ότι: $$arctan⁡(1)+arctan⁡(2)+arctan⁡(3)=π. $$

Απόδειξη

Έστω 

$arctan⁡(1)=x$, $arctan⁡(2)=y$, και $arctan⁡(3)=z$.

Χρήση την ταυτότητα \[ \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} \]Έχουμε: \[ \tan(x + y) = \frac{1 + 2}{1 - 1 \cdot 2} = \frac{3}{-1} = -3 \]  Άρα \(\tan(x + y) = -3\). Χρήση της ίδιας ταυτότητας: \[ \tan(z + (x + y)) = \frac{\tan z + \tan(x + y)}{1 - \tan z \cdot \tan(x + y)} \] Υπολογίζουμε: \[ \tan(z + (x + y)) = \frac{3 + (-3)}{1 - 3 \cdot (-3)} = \frac{0}{1 + 9} = 0 \] Επειδή \(\tan(z + (x + y)) = \tan(x + y + z) = 0\) και  \(\tan(\pi) = 0\)), έχουμε: \[ x + y + z = \pi \] Άρα \(\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3) = \pi\).