Μέθοδος του Νεύτωνα για Τετραγωνικές Ρίζες

Για να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού \( S \) χωρίς αριθμομηχανή, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του Νεύτωνα. 

Τα βήματα είναι τα εξής: 

Αρχική εκτίμηση: 

Επιλέγουμε έναν αριθμό \( x_0 \) κοντά στη ρίζα του \( S \). 

Εφαρμογή τύπου: 

Υπολογίζουμε τη νέα εκτίμηση με τον τύπο: \[ x_{n+1} = \frac{x_n + \dfrac{S}{x_n}}{2} \]Επανάληψη: 

Επαναλαμβάνουμε μέχρι η τιμή να σταθεροποιηθεί. 

Παράδειγμα

Υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας \( \sqrt{20} \). 

Αρχική εκτίμηση: \( x_0 = 4 \) (αφού \( 4^2 = 16 \), κοντά στο 20). 

• \( x_1 = \dfrac{4 + \dfrac{20}{4}}{2} = \dfrac{4 + 5}{2} = 4.5 \). 
• \( x_2 = \dfrac{4.5 + \dfrac{20}{4.5}}{2} = \dfrac{4.5 + 4.444\ldots}{2} \approx 4.472 \). 

Έλεγχος: 

\( 4.472^2 \approx 19.998 \), πολύ κοντά στο $20$.

 Άρα

 \( \sqrt{20} \approx 4.472 \).