"Γεωμετρική επίλυση" δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Να λυθεί "γεωμετρικά" η εξίσωση 

$\displaystyle{x^2-6x-55=0}$.

Λύση

Σε ευθεία θεωρώ τα σημεία $A,B,C\,\,\mu \varepsilon \,\,AB = 5\,\,,\,\,AC = 6$ και γράφω τον κύκλο $({k_1})$ διαμέτρου $AB$ και το ημικύκλιο $({b_1})$ διαμέτρου $AC$. Η κάθετη στην $AB$ στο $B$ τέμνει το ημικύκλιο στο $D$.

Επειδή $D{C^2} = CB \cdot CA \Rightarrow \boxed{D{C^2} = 55}$.

Τώρα σχηματίζω το τετράγωνο $BCED$ και θα είναι $DC = BE = \sqrt {55}$. Γράφω τόξο $(B,BE)$ που τέμνει την $BD$ στο $Z$, άρα θα είναι $BZ = BE = \sqrt {55}$. Φέρνω την ευθεία που ενώνει το $Z$ με το κέντρο του κύκλου $({k_1})$. 

Ως x θεωρώ το μήκος της μεγάλης τέμνουσας αφού δέχομαι «γεωμετρικά» μόνο θετικές ρίζες. Από την δύναμη του $Z$ στον κύκλο $({k_1})$ έχω: 

$B{Z^2} = x(x - 6) \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 55 = 0$.

Πηγή: mathematica