Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Σημείο $D$ κινείται στην πλευρά $AC$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ και έστω $E, F$ οι προβολές του στις $AB, BC$ αντίστοιχα. 

A) Να βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{{(BEF)}}{{(ABC)}}$, όταν μεγιστοποιείται το εμβαδόν του $BEF$. 

B) Αν $AE=3, FC=5$, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $BD$.

Πηγή: mathematica