Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [90]

 Της Αθηνάς Καλαμπόκα  

Δίνεται η συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ για την οποία ισχύει: $$f(\ln{x}) = 2+x + \ln{x},\quad x > 0$$ α) Να βρείτε τις τιμές $f(1), f(-1), f(0)$

β) Να δείξετε ότι: 

i) $f(x) = 2 + e^x + x,\quad x \in R$

ii) Η $f $ είναι συνάρτηση $1-1$

γ) Να λύσετε την εξίσωση $$2 + e^{f(x)} + f(x) = f(e^x)$$

δ) Να βρείτε συνάρτηση $g: R \rightarrow R$ για την οποία ισχύει: $$g(x) = e^{x^2 - g(x)} + x^2-1, \forall x \in R.$$