Η Δεσμευμένη Πιθανότητα: Μια Βασική Έννοια στη Στατιστική

Η δεσμευμένη πιθανότητα αναφέρεται στην πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός $B$, υπό την προϋπόθεση ότι ένα άλλο γεγονός $A$ έχει ήδη συμβεί. 

Ο τύπος της δεσμευμένης πιθανότητας είναι: $$P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$$

 

Εξήγηση του Τύπου:

Ο τύπος αυτός εκφράζει την πιθανότητα του γεγονότος $B$ να συμβεί, γνωρίζοντας ότι το γεγονός $A$ έχει ήδη συμβεί. Το $P(B∩A)$ είναι η πιθανότητα ταυτόχρονης εμφάνισης των δύο γεγονότων ($A$ και $B$), ενώ το $P(A)$ είναι η πιθανότητα του γεγονότος $A$.

🔍 Παράδειγμα 1: Σχολείο και Εργασία

Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός $A$ είναι ότι ένας μαθητής πήγε στο σχολείο και το γεγονός $B$ είναι ότι έκανε την εργασία του. Η δεσμευμένη πιθανότητα $P(B∣A)$ είναι η πιθανότητα να έχει κάνει την εργασία του, δεδομένου ότι ξέρουμε ότι πήγε στο σχολείο.

Αν για παράδειγμα γνωρίζουμε ότι $80\%$ των μαθητών που πηγαίνουν στο σχολείο ολοκληρώνουν την εργασία τους, η δεσμευμένη πιθανότητα θα είναι: $$P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.8 \times 1}{1} = 0.8$$

Άρα, η πιθανότητα να έχει κάνει την εργασία του, αφού πήγε στο σχολείο, είναι $80\%$.

🔍 Παράδειγμα 2: Ιατρική Διάγνωση

Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός $A$ είναι ότι ένας ασθενής έχει ένα συγκεκριμένο σύμπτωμα (π.χ., πυρετό) και το γεγονός $B$ είναι ότι ο ασθενής έχει μια συγκεκριμένη ασθένεια (π.χ., γρίπη). Η δεσμευμένη πιθανότητα $P(B∣A)$ είναι η πιθανότητα ο ασθενής να έχει γρίπη, δεδομένου ότι έχει πυρετό.

Αν γνωρίζουμε ότι το $10\%$ των ανθρώπων με πυρετό έχουν γρίπη και το $50\%$ του πληθυσμού έχει πυρετό κάποια στιγμή, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα υπολογίζεται ως εξής: $$P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.10 \times 0.50}{0.50} = 0.10$$

Άρα, η πιθανότητα να έχει κάποιος γρίπη αν έχει πυρετό είναι $10 \%$.

💡 Γιατί Είναι Σημαντική;

Η δεσμευμένη πιθανότητα είναι κρίσιμη σε πολλούς τομείς, όπως η ιατρική, η οικονομία και η τεχνητή νοημοσύνη. Βοηθά να κάνουμε πιο ενημερωμένες εκτιμήσεις και να παίρνουμε καλύτερες αποφάσεις, βασιζόμενοι σε συγκεκριμένες συνθήκες και διαθέσιμες πληροφορίες.