Θεώρημα Cayley-Hamilton

Το θεώρημα Cayley-Hamilton αναφέρει ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας ικανοποιεί το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο. 

Διατύπωση:

 Έστω \( A \) ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης \( n \times n \) με χαρακτηριστικό πολυώνυμο \[ p_A(\lambda) = \text{det}(\lambda I - A) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_1\lambda + c_0 \] Τότε, αν αντικαταστήσουμε τον πίνακα \( A \) αντί για την μεταβλητή \( \lambda \), προκύπτει: \[ p_A(A) = A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_1A + c_0I = 0 \] δηλαδή ο πίνακας μηδέν. 

Σημασία και Εφαρμογές:

• Βοηθά στον υπολογισμό της αντίστροφης ενός πίνακα. 
• Επιτρέπει την εύκολη εύρεση δυνάμεων του πίνακα \( A \). 
• Χρησιμοποιείται στην ανάλυση διαφορικών εξισώσεων με πίνακες. 
• Έχει εφαρμογές στην κβαντική μηχανική, στη γραμμική άλγεβρα και σε υπολογισμούς ιδιοτιμών.