Το παράδοξο του Curry, το οποίο ονομάζεται και παράδοξο του Curry-Howard, είναι ένα παράδοξο στη λογική που αναδεικνύει προβλήματα με την αυτοαναφορά και την αποδειξιμότητα σε συστήματα λογικής.
Είναι συγγενές με το παράδοξο του Löb, και η βασική του ιδέα είναι η εξής:
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια πρόταση $(C)$ που λέει "Αν αυτή η πρόταση $(C )$ είναι αποδείξιμη, τότε ισχύει κάτι άλλο, ας πούμε $( P )$".
Συμβολικά, αυτό γράφεται ως:
Όπου:
- □ σημαίνει "είναι αποδείξιμο ότι",
- ( C ) είναι η πρόταση που αναφέρεται στην ίδια της την αποδειξιμότητα,
- ( P ) είναι οποιαδήποτε άλλη πρόταση.
Το παράδοξο αναδύεται με την εξής ακολουθία:
- Αν υποθέσουμε ότι $( C )$ είναι αποδείξιμο (δηλαδή $□C$), τότε από την ίδια την ορισμό της $( C )$, έχουμε ότι $□C→P$ είναι αληθές, άρα $(P )$ πρέπει να ισχύει.
- Αλλά αν $(P)$ είναι αληθές, τότε, ανεξάρτητα από το τι είναι το $(P)$, η πρόταση $( C )$ μπορεί να αποδειχθεί μέσω μιας απλής απόδειξης που ακολουθεί από την αλήθεια του $(P)$, αφού $(C)$ ακριβώς λέει ότι αν είναι αποδείξιμο, τότε $(P)$ ισχύει.
Αυτό οδηγεί σε μια ατέρμονη αυτοαναφορά όπου η αποδειξιμότητα της $( C )$ εξαρτάται από την αλήθεια της $( P )$, και η αλήθεια της $( P )$ εξαρτάται από την αποδειξιμότητα της $( C )$. Αυτό το παράδοξο δείχνει ότι σε ορισμένα συστήματα λογικής, η αυτοαναφορά μπορεί να οδηγήσει σε αντιφάσεις ή σε απρόβλεπτες συνέπειες.
Το παράδοξο του Curry είναι σημαντικό στη θεωρία της λογικής και των μαθηματικών, καθώς φέρνει στην επιφάνεια ζητήματα όπως η ατελής απόδειξη, η αυτοαναφορά, και η σχέση μεταξύ μαθηματικών αποδείξεων και λογικών συστημάτων.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου