Το Θεώρημα της Καμπύλης του Jordan (Jordan Curve Theorem) δηλώνει ότι κάθε απλή, κλειστή, συνεχής καμπύλη στο επίπεδο χωρίζει το επίπεδο σε δύο χωριστές περιοχές: μια εσωτερική και μια εξωτερική, με την ίδια την καμπύλη ως το κοινό τους σύνορο.
Γιατί είναι δύσκολο να αποδειχθεί;
Αν και το θεώρημα φαίνεται διαισθητικά προφανές, η αυστηρή μαθηματική του απόδειξη αποδείχθηκε ιδιαίτερα δύσκολη. Ο Camille Jordan το διατύπωσε το $1887$, αλλά η απόδειξή του δεν ήταν πλήρως αυστηρή. Η πρώτη αυστηρή απόδειξη δόθηκε από τον Oswald Veblen το $1905$.
Η δυσκολία προκύπτει από το γεγονός ότι η έννοια του "εσωτερικού" και του "εξωτερικού" δεν είναι εύκολο να διατυπωθεί αυστηρά για γενικές συνεχείς καμπύλες, ειδικά αν δεν είναι ομαλές ή έχουν περίεργη τοπολογία (π.χ. φράκταλ).
Το θεώρημα του Jordan αποτελεί θεμέλιο της Τοπολογίας και έχει επεκτάσεις σε υψηλότερες διαστάσεις, όπως το Θεώρημα του Ιορδάνη-Μπράουερ για επιφάνειες στο 3D χώρο.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου