Langley's Adventitious Angles

Ο Edward Mann Langley, ιδρυτής του Mathematical Gazette, διατύπωσε το εξής γεωμετρικό πρόβλημα το $1922$:

Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ με γωνίες $B=C=80∘$. Η ευθεία $CF$, σχηματίζοντας γωνία $30^\circ$ με την πλευρά $AC$, τέμνει την πλευρά $AB$ στο σημείο $F$.

Η ευθεία $BE$, σχηματίζοντας γωνία $20^\circ$ με την πλευρά $AB$, τέμνει την πλευρά $AC$ στο σημείο $E$.

Να αποδειχθεί ότι η γωνία $\angle BEF = 30^\circ$.

💡 Παρατήρηση: Στην αρχική διατύπωση του Langley δεν γίνεται αναφορά στο σημείο DDD. Ενδέχεται να είναι το σημείο τομής των $BE$ και $CF$.

Μια κλασική λύση (JW Mercer, 1923):

1️⃣ Σχεδιάζουμε την ευθεία $BG$, η οποία σχηματίζει γωνία $20^\circ$ με την πλευρά $BC$ και τέμνει την $CA$ στο σημείο $G$.

2️⃣ Η γωνία $\angle GBF$ είναι $60^\circ$, ενώ οι γωνίες $∠BGC$ και $∠BCG$ είναι και οι δύο $80^\circ$, επομένως το τμήμα $BCB$ είναι ίσο με το $BGB$, δηλαδή $BC=BG$.

3️⃣ Οι γωνίες $∠BCF$ και $\angle BFC$ είναι και οι δύο $50^\circ$, άρα $BF=BG$ και το τρίγωνο $BFG$ είναι ισόπλευρο.

4️⃣ Επειδή οι γωνίες $\angle GBE$ και $\angle BEG$ είναι και οι δύο $40^\circ$, προκύπτει ότι $BG=GE=GF$.

5️⃣ Η γωνία $\angle FGE$ είναι $40^\circ$, οπότε η γωνία $\angle GEF$ είναι $70^\circ$ και τελικά η γωνία $\angle BEF$ είναι $30^\circ$. ✅

Το Langley's Adventitious Angles είναι ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα στοιχειώδους γεωμετρίας, καθώς η λύση του προκύπτει με εκπληκτικό τρόπο μέσω συμμετρίας και τριγωνομετρικών σχέσεων.