Η εξίσωση του Poisson

Η εξίσωση του Poisson είναι μια σημαντική διαφορική εξίσωση στη φυσική και στη μαθηματική ανάλυση. 

Εκφράζεται ως:

 $\nabla^2 \varphi = f$ 

όπου: 

• $\nabla^2$ είναι ο λαπλασιανός, που σε καρτεσιανές συντεταγμένες γράφεται ως: \[ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \] για τρεις διαστάσεις. 
• $\varphi$ είναι η συνάρτηση που αναζητούμε. 
• $f$ είναι μια γνωστή συνάρτηση που αντιπροσωπεύει την πηγή ή την κατανομή της φόρτισης στην περίπτωση της ηλεκτροστατικής (ή οποιαδήποτε άλλη κατανομή, ανάλογα με την εφαρμογή). 

Η εξίσωση του Poisson χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλά πεδία, όπως: 

Ηλεκτρομαγνητισμός: 

Για την εύρεση του δυναμικού πεδίου από μια κατανομή φόρτισης.  

Μηχανική: 

Στη θεωρία της ελαστικότητας για την ανάλυση του κατασκευαστικού στρες. 

Θερμοδυναμική:

Για την κατανομή της θερμοκρασίας σε σταθερή κατάσταση με πηγές θερμότητας. 

Η λύση της εξίσωσης απαιτεί συνήθως την εφαρμογή οριακών συνθηκών για να καθοριστεί η μοναδική λύση.