Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [1]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = \ln x - \dfrac{e}{x} + x$, $x > 0$ 

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, την κυρτότητα και να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_f$. 

β) i) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$. 

ii) Να λύσετε την ανίσωση 

$f^{-1}(2e - f(x)) > e$. 

γ) Να λύσετε την εξίσωση 

$\ln x - (ex+1)\left(\dfrac{e}{x}-\dfrac{1}{e}\right) = 2$. 

δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση 

$g(x) = f(x) + f\left(\dfrac{1}{x}\right)$, $x > 0$. 

i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική της παράσταση, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x=1$, $x=e$. 

ii) Να αποδείξετε ότι αν για κάποιο $\alpha \in \mathbb{R}$ ισχύει $g(x) \le \alpha$ για κάθε $x > 0$, τότε 

$\dfrac{\alpha}{2} + e \ge 1$.