Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [2]

Έστω \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) μια συνεχής συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα \( y \) στο σημείο με τεταγμένη 1 και τα μόνα κοινά σημεία της με τον άξονα \( x \) έχουν τετμημένες -2 και 4. Επιπλέον η \( f \) είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα \([0, +\infty)\).

(α) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού \( f \left( -\dfrac{7}{4} \right) \) και τη μονοτονία της \( f \) στο διάστημα \([0, +\infty)\). 

(β) Να υπολογίσετε το όριο: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(-0,1)x^3 + f(1)x^2 + f(2)}{f(-1)f(5)x^2 + f(0)} \]

(γ) Να λύσετε την εξίσωση \[ f(e^x) + f(e^{3x}) = f(e^{2x}) + f(e^{4x}) \] (δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει \( x_0 \in (-2, 4) \) τέτοιο, ώστε $f(x_0) = \sqrt [4]{f^3(- 0,1)f(2)}$

(ε) Αν η \( f \) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε \( x \in (0, 4) \) ισχύει \( (f(x) - 1)f''(x) < 0 \) να αποδείξετε ότι \[ \int_{0}^{4} f(x) \, dx < 2. \]