Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [9]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x-1}, & x < 1 \\ e^{x-1} + \ln x - 2, & x \ge 1 \end{cases}$ 

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη συνέχεια. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα. 

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$. 

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x) = 0$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα $(1,2)$. 

ε) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται. 

στ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $f(x) = \alpha$, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\alpha$. 

ζ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\kappa > 1$ υπάρχει μοναδικό $\xi \in (1, +\infty)$ τέτοιο, ώστε να ισχύει

 $f(\xi) = \dfrac{f(\kappa) + \kappa f(\kappa+1) + (\kappa+1) f(\kappa+2)}{2(\kappa+1)}$.