Υπολογισμός Αθροίσματος

Έστω $f$ μια συνάρτηση από μη αρνητικούς ακεραίους σε μη αρνητικούς ακεραίους, τέτοια ώστε $ f(0) = 0$ και

$f(m) = f\left(\left\lfloor \dfrac{m}{2} \right\rfloor\right) + \left\lceil \dfrac{m}{2} \right\lceil ^2$

για όλους τους θετικούς ακεραίους $m$.

Υπολογίστε

$\dfrac{f(1)}{1 \cdot 2} + \dfrac{f(2)}{2 \cdot 3} + \dfrac{f(3)}{3 \cdot 4} + \cdots + \dfrac{f(31)}{31 \cdot 32}$.

(όπου,$\lfloor z \rfloor$ είναι ο μέγιστος ακέραιος μικρότερος ή ίσος με το $z$, και $\lceil z \rceil$ είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος με το $z$.)

Harvard MIT Math Tournament 2025 — GUTS ROUND