Πόσο καλά ξέρετε την μπάλα που παίζετε;
Η επιφάνεια μιας τυπικής μπάλας ποδοσφαίρου αποτελεί ένα θαύμα γεωμετρίας, καλυμμένη από ακριβώς $20$ εξάγωνα και $12$ πεντάγωνα.
Πόσο περίεργο ακούγεται αυτό; Αλλά γιατί ακριβώς $12$ πεντάγωνα;
Αυτό συνδέεται με την χαρακτηριστική του Euler για σφαιρικά σχήματα, η οποία δηλώνει ότι:
\[
V - E + F = 2
\]
όπου:
- \( V \) είναι ο αριθμός των κορυφών
- \( E \) είναι ο αριθμός των ακμών
- \( F \) είναι ο αριθμός των εδρών
Για να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τα \(V\), \(E\) και \(F\).
Έστω ότι: \( P \) είναι ο αριθμός των πενταγώνων, \( H \) είναι ο αριθμός των εξαγώνων.
Από τα δεδομένα της μπάλα ποδοσφαίρου γνωρίζουμε ότι:
\[
F = P + H
\] Το \( V \) (ο αριθμός των κορυφών) υπολογίζεται από το γεγονός ότι κάθε κορυφή ανήκει σε 3 όψεις:
\[
V = \frac{5P + 6H}{3}
\] Το \( E \) (ο αριθμός των ακμών) υπολογίζεται από το γεγονός ότι κάθε ακμή ανήκει σε $2$ όψεις:
\[
E = \frac{5P + 6H}{2}
\]
Τώρα, εφαρμόζουμε τη χαρακτηριστική του Euler:
\[
V - E + F = 2
\]
Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις για \( V \), \( E \) και \( F \) και έχουμε:
$\dfrac{5P + 6H}{3} - \dfrac{5P + 6H}{2} + P + H = 2$
.........
$-5P - 6H + 6P + 6H = 12$
$P = 12$
Άρα, καταλήγουμε στο ότι ο αριθμός των πενταγώνων \( P \) πρέπει να είναι $12$ για να ικανοποιείται η χαρακτηριστική του Euler για την μπάλα ποδοσφαίρου!
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου