Η Γεωμετρία της Μπάλας Ποδοσφαίρου: Πώς Ο Euler Αποκαλύπτει τον Αριθμό των Πενταγώνων

Πόσο καλά ξέρετε την μπάλα που παίζετε;

Η επιφάνεια μιας τυπικής μπάλας ποδοσφαίρου αποτελεί ένα θαύμα γεωμετρίας, καλυμμένη από ακριβώς $20$ εξάγωνα και $12$ πεντάγωνα. 

Πόσο περίεργο ακούγεται αυτό; Αλλά γιατί ακριβώς $12$ πεντάγωνα;

Αυτό συνδέεται με την χαρακτηριστική του Euler για σφαιρικά σχήματα, η οποία δηλώνει ότι: \[ V - E + F = 2 \] όπου: 

• \( V \) είναι ο αριθμός των κορυφών
• \( E \) είναι ο αριθμός των ακμών
• \( F \) είναι ο αριθμός των εδρών  

Για να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τα \(V\), \(E\) και \(F\). 

Έστω ότι: \( P \) είναι ο αριθμός των πενταγώνων, \( H \) είναι ο αριθμός των εξαγώνων. 

Από τα δεδομένα της μπάλα ποδοσφαίρου γνωρίζουμε ότι: \[ F = P + H \] Το \( V \) (ο αριθμός των κορυφών) υπολογίζεται από το γεγονός ότι κάθε κορυφή ανήκει σε 3 όψεις: \[ V = \frac{5P + 6H}{3} \] Το \( E \) (ο αριθμός των ακμών) υπολογίζεται από το γεγονός ότι κάθε ακμή ανήκει σε $2$ όψεις: \[ E = \frac{5P + 6H}{2} \]

Τώρα, εφαρμόζουμε τη χαρακτηριστική του Euler: \[ V - E + F = 2 \] 

 Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις για \( V \), \( E \) και \( F \) και έχουμε: 

$\dfrac{5P + 6H}{3} - \dfrac{5P + 6H}{2} + P + H = 2$

.........

$-5P - 6H + 6P + 6H = 12$

$P = 12$

Άρα, καταλήγουμε στο ότι ο αριθμός των πενταγώνων \( P \) πρέπει να είναι $12$ για να ικανοποιείται η χαρακτηριστική του Euler για την μπάλα ποδοσφαίρου!