Απόδειξη για την Ελάχιστη Τιμή της Συνάρτησης της g

Έστω \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) μια συνεχής ζυγή συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση \( f(x+2) = f(x) \) για κάθε \( x \) και είναι αύξουσα στο διάστημα \([0, 1]\).

Ορίζουμε μια νέα συνάρτηση \( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ως εξής: \[ g(x) = \int_0^2 f(t) f(t + x) \, dt. \] Αποδείξτε ότι το \( g(1) \) είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης \( g \).