17. Δίνεται η συνάρτηση
\( f(x) = \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \ln x \), \( x > 0 \).
Δ1) Να αποδείξετε ότι ισχύει: \( f \circ h = f \), όπου \( h(x) = \dfrac{1}{x} \), \( x \in \mathbb{R}^* \).
Δ2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f \) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \( (0, 1] \) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \( [1, +\infty) \), και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της.
Δ4) Να αποδείξετε ότι η μοναδική ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \( f \) είναι η κατακόρυφη ευθεία με εξίσωση \( x = 0 \).
Δ5) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f \) είναι κυρτή στο ανοικτό διάστημα \( (0, +\infty) \).
Δ6) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) με συνεχή παράγωγο \( g' \) για τις οποίες ισχύουν:
- \( g(0) = g'(0) = 1 \),
- \( g(x) g'(x) \neq 0 \), για κάθε \( x \in \mathbb{R} \).
Να αποδείξετε ότι για κάθε \( x \in \mathbb{R} \) ισχύει:
\( f'(g(ημ(x^2 + 1))) < f'(g(x^2 + 1)) \).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου