Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ από το study4exams

17. Δίνεται η συνάρτηση 

\( f(x) = \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \ln x \), \( x > 0 \).

Δ1) Να αποδείξετε ότι ισχύει: \( f \circ h = f \), όπου \( h(x) = \dfrac{1}{x} \), \( x \in \mathbb{R}^* \). 

Δ2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f \) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \( (0, 1] \) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \( [1, +\infty) \), και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

Δ3) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \( f(x) = 1 \) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \( (0, 1) \). 

Δ4) Να αποδείξετε ότι η μοναδική ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \( f \) είναι η κατακόρυφη ευθεία με εξίσωση \( x = 0 \). 

Δ5) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( f \) είναι κυρτή στο ανοικτό διάστημα \( (0, +\infty) \). 

Δ6) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) με συνεχή παράγωγο \( g' \) για τις οποίες ισχύουν: 

•  \( g(0) = g'(0) = 1 \), 
• \( g(x) g'(x) \neq 0 \), για κάθε \( x \in \mathbb{R} \).

Να αποδείξετε ότι για κάθε \( x \in \mathbb{R} \) ισχύει: 

\( f'(g(ημ(x^2 + 1))) < f'(g(x^2 + 1)) \).