Το Παράδοξο Κέρας του Γαβριήλ

Στην Αποκάλυψη (8:2-11:19), οι σάλπιγγες, που φυσούν επτά άγγελοι, σηματοδοτούν θεϊκές κρίσεις και κοσμικά γεγονότα πριν την Ημέρα της Κρίσεως.

✨ Τι είναι το Κέρας του Γαβριήλ;

Πρόκειται για ένα μαθηματικό στερεό, γνωστό και ως τρομπέτα του Torricelli, που κατασκευάζεται περιστρέφοντας γύρω από τον οριζόντιο άξονα $Ox$ την υπερβολική καμπύλη:

$$y = \frac{1}{x}, \quad x \in [1, +\infty)$$

Η επιφάνεια που προκύπτει επεκτείνεται άπειρα, δημιουργώντας μια άπειρη τρομπέτα.

---

🧮 Το Παράδοξο με Αριθμούς

✔️ Όγκος:

Ο όγκος του στερεού είναι:

$$V = \pi \int_1^{\infty} \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx = \pi$$

Οπότε: Πεπερασμένος όγκος!
Μπορεί να γεμίσει με ένα δοχείο χρώματος.

❌ Επιφάνεια:

Η επιφάνεια είναι:

$$A = 2\pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2} dx$$

Η ολοκλήρωση αυτής της ποσότητας δεν συγκλίνει, δηλαδή:

Άπειρη επιφάνεια!
Δεν μπορείς να το βάψεις απ’ έξω με πεπερασμένο χρώμα.

---

🤯 Πώς γίνεται αυτό;

Το κέρας λεπτύνει τόσο γρήγορα καθώς προχωρά προς το άπειρο, που ο όγκος που προσθέτει κάθε νέα φέτα γίνεται εκθετικά μικρότερος. Όμως, η επιφάνειά του προσθέτει λιγότερο γρήγορα και έτσι συνολικά γίνεται άπειρη.