Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [11]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = x^4 - 2x^2 + 2x$ 

και η ευθεία $\varepsilon$ που εφάπτεται στη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ στα σημεία της $A(x_1, f(x_1))$ και $B(x_2, f(x_2))$ με $x_1 \neq x_2$. 

α) Να βρείτε τα σημεία $A$, $B$ και την εξίσωση της ευθείας $\varepsilon$. 

β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την $C_f$ και την ευθεία $\varepsilon$. 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα. 

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0 \in (-2, -1)$, στο οποίο η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό ακρότατο.