Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [11]

 Tης Ντίνας Ψαθά  

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = \ln \left( \dfrac{x}{e^x - 1} \right)$.

Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πρόσημο των τιμών της $f$.

Δ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, στο πεδίο ορισμού της.

Δ3. Να βρείτε το σύνολο τιμών της $f$.

Δ4. Να δείξετε ότι ισχύει 

$\pi < \dfrac{e^π - 1}{e-1} < πe^{π-1}$.

Δ5. Να υπολογίσετε το 

$I = \int_1^2 (f(-x) - f(x)) \, dx$.