Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [13]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω οι συναρτήσεις 

$f(x) = x^4 - 2\alpha x^3 + 6x^2 + 2x + 1$ 

και 

$g(x) = -e^{x^2 - 1} + 4x$ 

με $A = \mathbb{R}$ και $\alpha \in (-2, 2)$. 

α) Να δείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ και έχει ελάχιστη τιμή στη θέση $x_0 \in (-1, 0)$. 

β) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της $f$ στο $M(0, f(0))$ εφάπτεται στην συνάρτηση $g$. 

γ) Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης 

$2 f(x) e^{f^2(x) - 1} = 4 - g'(x_0)$. 

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση \[ e^x \int_0^1 f(t) \, dt + (x - 1) \int_0^1 g(t) \, dt = 2e (5 - \alpha) x \] έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0, 1)$.