Πέμπτη 24 Απριλίου 2025

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [18]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  
Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο 
$f(x) = \dfrac{ae^x + x}{e^x}$, $a \in \mathbb{R}$
της οποίας το σύνολο τιμών είναι το $f(\mathbb{R}) = \left(-\infty, \dfrac{e+1}{e}\right]$. 
$\Delta$1. Να δείξετε ότι $a = 1$. 
$\Delta$2. Να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x) = 0$ έχει μοναδική ρίζα $x_0$, η οποία ανήκει στο διάστημα $(-1, 0)$. 
$\Delta$3. Να δείξετε ότι η εξίσωση 
$f(x) = f(\ln 2)$ 
έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις $x_1 = \ln 2$ και $x_2 = \ln 4$. 
$\Delta$4. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση $g: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο 
$g(x) = f(\ln x) \cdot \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$. 
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x = \dfrac{1}{e}$ και $x = 1$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

>
.crml-btn-stop { background-color: #FF6C00 !important; color: #fff !important; }