Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [20]

 Toυ Νίκου Παπαγγελή  

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με \[f(x) = \begin{cases} \sqrt[3]{x^4} + \frac{4x}{3} + e^\lambda - 1, & \text{αν } x \leq 0 \\x \ln x + \lambda, & \text{αν } x > 0 \end{cases}\]$\text{ με } \lambda \in \mathbb{R}. $ 

Γ1. Να αποδείξετε ότι $\lambda = 0$.

Γ2. Να βρείτε: 

α) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $f$. 

β) Το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$. 

Γ3. Να αποδείξετε ότι: 

α) Η $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $[0, +\infty)$. 

β) $f(x) \geq -1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. 

Γ4. Ένα σημείο $M(a, f(a))$ ξεκινάει από το σημείο $A(1, f(1))$ και κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$. Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου $M$ δίνεται από τον τύπο 

$a'(t) = \dfrac{2^t \cdot \ln 4 + 1}{2}$ μονάδες/sec 

για κάθε $t \geq 0$. 

α) Να βρείτε σε πόσα δευτερόλεπτα το σημείο $M$ θα βρίσκεται στο σημείο $B(5, f(5))$. 

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$, του άξονα $x'x$ και της ευθείας $x = a$, μετά από $2$ δευτερόλεπτα από την έναρξη της κίνησης.