Έστω η συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}^*$ και ικανοποιεί τη σχέση: $$f'(x) = \frac{e^x - f(x)}{x} \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}^*$$ 
Να αποδείξετε ότι:
α) $f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x - 1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$
β) Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0 = 0$ και ότι η ευθεία $(\epsilon)$ με εξίσωση $y = \dfrac{1}{2}x + 1$ εφάπτεται της γραφικής παράστασης $C_f$ της συνάρτησης $f$ στο κοινό σημείο με τον άξονα $y'y$.
γ) Η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.
δ) Η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου