Το Άλυτο Πρόβλημα των 36 Αξιωματικών του Euler

📌 Εισαγωγή:

Το $1782$, ο θρυλικός μαθηματικός Leonhard Euler έθεσε ένα πρόβλημα που θα απασχολούσε μαθηματικούς για περισσότερο από έναν αιώνα:

Πώς μπορούν να τοποθετηθούν 36 αξιωματικοί διαφορετικών βαθμών και διαφορετικών συνταγμάτων σε ένα πλέγμα 6×6, έτσι ώστε κάθε γραμμή και κάθε στήλη να περιέχει όλους τους βαθμούς και όλα τα συντάγματα μία φορά;

---

🧩 Η μαθηματική διατύπωση:

Το πρόβλημα αυτό μεταφράζεται στη σύζευξη δύο λατινικών τετραγώνων τάξης $6$ — ένα για τα συντάγματα, κι ένα για τους βαθμούς — έτσι ώστε όταν συνδυαστούν, κάθε ζεύγος (σύνταγμα, βαθμός) να εμφανίζεται ακριβώς μία φορά.

Αυτό καλείται ελληνολατινικό τετράγωνο.

---

🖼️ Οπτική απεικόνιση:

Σε κάθε κελί φαίνεται ένας αξιωματικός (βλέπε εικόνα):

• Το εξωτερικό χρώμα δηλώνει το σύνταγμα

• Το εσωτερικό χρώμα δηλώνει τον βαθμό
  Η πρόκληση είναι να μην επαναλαμβάνονται τα χρώματα σε καμία γραμμή ή στήλη.

---

❌ Το ανέφικτο της υπόθεσης:

Ο Euler πίστευε ότι κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό για πίνακα $6×6$. Το $1901$, ο Gaston Tarry απέδειξε εξαντλητικά ότι όντως δεν υπάρχει τέτοια διάταξη για τάξη $6$.

---

🧠 Η εικασία του Euler και η διάψευσή της:

Ο Euler υπέθεσε γενικά ότι τέτοια τετράγωνα δεν υπάρχουν για n = 4k + 2, με $k≥1$.

Όμως το $1959$, οι Bose και Shrikhande, με τη βοήθεια υπολογιστών, απέδειξαν πως αυτό δεν ισχύει για όλες τις τιμές. Η εικασία καταρρίφθηκε πλήρως για $n≥10$.