Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι μία από τις πιο γνωστές σχέσεις στα Μαθηματικά: $a^2 + b^2 = c^2$. Ανά τους αιώνες έχουν δοθεί πάνω από 400 διαφορετικές αποδείξεις. Εδώ παρουσιάζουμε μία λιγότερο γνωστή αλλά ιδιαίτερα εντυπωσιακή απόδειξη που βασίζεται στη γεωμετρική σειρά.
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \( \triangle ABC \), με \( \angle A = 90^\circ \), \( AB = a \), \( AC = b \), και υποτείνουσα \( BC = c \). Το τρίγωνο διαμερίζεται σε άπειρα τρίγωνα, τα οποία εναλλάσσονται σε χρώμα και μέγεθος, όπως φαίνεται στην πιο πάνω εικόνα.
Τα τρίγωνα αυτά συγκλίνουν προς τη βάση \( AB \) και έχουν λόγο σμίκρυνσης \( r \), δηλαδή κάθε επόμενο τρίγωνο είναι ομοιόμορφα μικρότερο από το προηγούμενο.
Απόδειξη
Το συνολικό εμβαδόν του αρχικού τριγώνου είναι: \[ E = \frac{1}{2}ab \] Καθώς το τρίγωνο διαμερίζεται σε άπειρα τρίγωνα, το άθροισμα των εμβαδών τους είναι: \[ E = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab \cdot r + \frac{1}{2}ab \cdot r^2 + \cdots = \frac{1}{2}ab \sum_{n=0}^{\infty} r^n \] Εφόσον \( 0 < r < 1 \), η σειρά συγκλίνει: \[ \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r} \] Άρα: \[ E = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{1}{1 - r} \] Το γεγονός ότι το συνολικό εμβαδόν διατηρείται αποδεικνύει πως το άθροισμα των μικρών τριγώνων όντως συγκλίνει στην επιφάνεια του αρχικού τριγώνου. Με κατάλληλη επιλογή λόγου \( r \), το επιχείρημα μπορεί να επαληθεύσει τη σχέση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
Η γεωμετρική αυτή απόδειξη μας δείχνει πως η απλή αλλά θεμελιώδης σχέση \( a^2 + b^2 = c^2 \) μπορεί να ερμηνευθεί ως αποτέλεσμα μιας συγκλίνουσας γεωμετρικής διαδικασίας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου