Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [5]

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν: 

$\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)(x - 1)}{\ln x} = 0$

και

$f'(x) = \sqrt{x^2 + 1}, \text{ για κάθε } x \in \mathbb{R}.$ 

α) i. Να υπολογίσετε το 

$\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x - 1}. $ 

ii. Να αποδείξετε ότι $f(1) = 0$. 

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x) = 0$ έχει μία ακριβώς ρίζα. 

γ) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης $f$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. 

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου $E$, που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x = 0$ και $x = 1$.