Ο Κανόνας του l’Hôpital: Ιστορική Εξέλιξη και Μαθηματική Διατύπωση

1. Βιογραφικά Στοιχεία

Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hospital (1661–1704):

Ήταν Γάλλος μαθηματικός και αριστοκράτης με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τις εφαρμογές του απειροστικού λογισμού. 

Ο l’Hospital δεν ήταν ιδιαίτερα πρωτότυπος μαθηματικός, αλλά διακρίθηκε για την ικανότητά του να παρουσιάζει μαθηματικές έννοιες με σαφήνεια. Είναι περισσότερο γνωστός για το έργο του Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (1696), το οποίο αποτελεί το πρώτο γνωστό εγχειρίδιο απειροστικού λογισμού.

Johann Bernoulli (1667–1748):

Ο Ελβετός μαθηματικός Johann Bernoulli ήταν μέλος της διάσημης οικογένειας Bernoulli και ένας από τους κύριους διαμορφωτές του απειροστικού λογισμού κατά τον 17ο αιώνα. Υπήρξε μαθητής του Leibniz και αργότερα καθηγητής στο Groningen και στη Βασιλεία. Οι συνεισφορές του εκτείνονται στην ανάλυση, τη μηχανική και την καμπυλόγραμμη γεωμετρία.

2. Η Συμφωνία

Το 1694, ο Marquis de l’Hospital και ο Johann Bernoulli ήρθαν σε μια ιδιότυπη συμφωνία: ο l’Hospital κατέβαλε ετήσιο ποσό στον Bernoulli με αντάλλαγμα να του παρέχει τα νέα του μαθηματικά αποτελέσματα. Ο l’Hospital είχε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσει τα αποτελέσματα αυτά, ακόμα και χωρίς αναφορά στον αρχικό συντάκτη. Ένα γράμμα του l’Hospital προς τον Bernoulli, το οποίο περιέχεται στο έργο του Howard Eves, In Mathematical Circles, περιγράφει ξεκάθαρα αυτήν τη συμφωνία. Χρόνια αργότερα, ο Johann Bernoulli ισχυρίστηκε ότι ολόκληρο το περιεχόμενο του Analyse des Infiniment Petits ήταν βασισμένο στις δικές του διαλέξεις και σημειώσεις.

3. Η Διατύπωση του Κανόνα από τον l’Hospital

Η πρωτότυπη διατύπωση του κανόνα βρίσκεται στο βιβλίο A Sourcebook in Mathematics του D. J. Struik (σ. 315–316), και έχει ως εξής:

"Lorsque deux quantitez dont on veut connoître la proportion, sont chacune d’une nature telle que leur différence devient infiniment petite en même temps, on aura leur proportion en cherchant celle de leurs différences."

Με απλά λόγια: Όταν δύο ποσότητες τείνουν στο μηδέν (ή στο άπειρο) ταυτόχρονα, τότε ο λόγος τους μπορεί να προσδιοριστεί με βάση τον λόγο των διαφορών τους (διαφορικών τους).

Αυτή η διατύπωση είναι καθαρά γεωμετρική και διατυπωμένη σε όρους διαφορικών, όπως ήταν συνηθισμένο την εποχή εκείνη.

4. Σύγκριση με τη Σύγχρονη Διατύπωση

Η σημερινή μορφή του κανόνα του l’Hospital, όπως διδάσκεται σε σύγχρονα βιβλία απειροστικού λογισμού), δηλώνει ότι:

Αν οι συναρτήσεις $f(x)$ και $g(x)$ είναι παραγωγίσιμες κοντά σε ένα σημείο $a$, και ισχύει:

$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{0}{0} \text{ ή } \dfrac{\infty}{\infty}$

τότε, υπό κατάλληλες συνθήκες: 

$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}. $

Παρατηρούμε ότι, ουσιαστικά, και οι δύο διατυπώσεις βασίζονται στην ιδέα ότι ο λόγος δύο απειροελάχιστων ποσοτήτων μπορεί να υπολογιστεί μέσω των παραγώγων τους, δηλαδή των "διαφορικών διαφορών".