Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [22]

 Του Νίκου Παπαγγελή  

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), για την οποία ισχύουν:

• \( f(0) = 2 \) και
• \( f'(x) \cdot f(x) = x \), για κάθε \( x \in \mathbb{R} \).

(α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \( f \).

Δίνεται ότι 

\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4}, x \in \mathbb{R} \).

(β) Να μελετήσετε την \( f \) ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

(γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της γωνίας \( \omega \), που σχηματίζει κάθε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \( f \) με τον άξονα \( x' x \).

Δίνεται η συνάρτηση 

\( g(x) =\begin{cases}x \cdot f(x), & \text{αν } x \leq x_0 \\x \cdot ημ \left( \dfrac{1}{x} \right), & \text{αν } x > x_0\end{cases}\).

(δ) Να βρείτε την τιμή του \( x_0 \in \mathbb{R} \), για την οποία η συνάρτηση \( g \) είναι συνεχής.

(ε) Να αποδείξετε ότι 

$\dfrac{3\sqrt 2}{π^2} \leq \int_{\frac{2}{π}}^{\frac{4}{π}} g(x) \, dx < \dfrac{2}{π}.$