Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [33]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω η συνάρτηση 

$g(x) = (x-\alpha)^3 - 3\beta x - \gamma$ 

που έχει τοπικό ακρότατο στο $x_0 = 1$, σημείο καμπής το $M(0, -1)$ και η συνάρτηση 

$f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + x + 1}$ 

με $A = \mathbb{R}$.

$\Delta$1) Να δείξετε ότι $\alpha = 0$, $\beta = \gamma = 1$ και στη συνέχεια ότι η $g$ έχει ακριβώς τρεις ρίζες $ρ_1 < ρ_2 < ρ_3$.

$\Delta$2) Να δείξετε ότι η $f$ έχει τρία σημεία καμπής που βρίσκονται στην ευθεία $y = x - 1$.

$\Delta$3) Να βρείτε το σύνολο τιμών της $f$ και να δείξετε ότι:

i) $\int_0^1 (f^2(x) + 2f(x)) dx < 3$

ii) $\lim_{x \to ρ_2} \dfrac{xf(x)}{e^{g(x)} - g(x) - 1} = +\infty$

iii) $\lim_{x \to -\infty} [f(ημx) \cdot ημf(x)] = 0$

$\Delta$4) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

$$ \int_0^1 \dfrac{e^{5x} - 3e^{3x} - e^{2x}}{(e^{2x} + e^x + 1)^3} dx.$$