Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, με
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x \ln x}{x-1}, & 0 < x \neq 1 \\ \alpha, & x = 1 \end{cases}$
α) Να αποδείξετε ότι $\alpha = 1$.
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα και το σύνολο τιμών της είναι το $(0, +\infty)$.
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και η εξίσωση $f^{-1}(x-1) = x$, έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα $(2, 3)$.
δ) Να αποδείξετε ότι
$f'(1) = \dfrac{1}{2}$
και ότι η συνάρτηση $f'$ είναι συνεχής στο $x_0 = 1$.
ε) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι κοίλη.
στ) Να αποδείξετε ότι
$(x-1)f'(x) + 1 < f(x) < \dfrac{x+1}{2}$
για κάθε $x \in (1, +\infty)$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου