Σπείρα Κύκλων και Πράσινα Τριγωνικά Τμήματα

Στην παρακάτω γεωμετρική κατασκευή, ένας μοναδιαίος κύκλος (ακτίνας $1$) τοποθετείται στο επίπεδο έτσι ώστε να μην περιέχει το σημείο (0,0) – δηλαδή την αρχή των αξόνων.

Για κάθε φυσικό αριθμό $n$, ο κύκλος $C_n​$ κατασκευάζεται με σμίκρυνση και περιστροφή του αρχικού κύκλου $C_0$​, με σταθερό συντελεστή σμίκρυνσης (λιγότερο από $1$) και σταθερή γωνία περιστροφής γύρω από την αρχή των αξόνων.

Η διαδικασία επαναλαμβάνεται ώστε οι κύκλοι να σχηματίζουν μια σπείρα (spiral), και ο κάθε κύκλος $C_n$ είναι εξωτερικά εφαπτόμενος με τον προηγούμενο $C_{n-1}$​, τον αρχικό κύκλο $C_0$​, και με τους άξονες, όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα.

Κανένας από τους κύκλους δεν επικαλύπτεται με άλλον.

🔍 Ερώτηση:

Ποιο είναι το συνολικό εμβαδόν όλων των πράσινων κυκλικών τριγώνων της εικόνας (τα σφηνοειδή τμήματα ανάμεσα στους κύκλους και τους άξονες);