Παραμετρικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις: Από πραγματικές ρίζες σε σχέσεις ριζών

1. Δίνεται η εξίσωση 

$x^2 - (\lambda - 2)x - \lambda + 2 = 0$, όπου $\lambda \in \mathbb{R}$. 

$\textbf{α)}$ Να βρείτε για ποιες τιμές του $\lambda$, η παραπάνω εξίσωση έχει πραγματικές και άνισες ρίζες. 

Έστω $x_1, x_2$ οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης. 

$\textbf{β)}$ Να βρείτε για ποιες τιμές του $\lambda$ ισχύει 

$(x_1 + x_2)^4 + 2(x_1 \cdot x_2)^2 - 3 = 0$. 

$\textbf{γ)}$ Να βρείτε για ποιες τιμές του $\lambda$ ισχύει 

$\left| \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2 - 3} \right| < 2$.

2. Δίνεται η εξίσωση 

$x^2 - 2x + \lambda - 1 = 0$, $\lambda \in \mathbb{R}$ 

η οποία έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. 

$\textbf{α)}$ Να αποδείξετε ότι $\lambda < 2$. 

$\textbf{β)}$ Να βρείτε για ποια τιμή του $\lambda$ η απόσταση των ριζών της στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με 4. 

$\textbf{γ)}$ Να εξετάσετε αν για κάποια από τις επιτρεπόμενες τιμές του $\lambda$ οι ρίζες της εξίσωσης είναι αριθμοί αντίστροφοι.

Περιοδικό «Ευκλείδης Β'»