Ένα απλό αλλά συναρπαστικό μαθηματικό πρόβλημα προκύπτει όταν σπάμε μια γυάλινη ράβδο σε τρία κομμάτια. Αν αυτά τα τρία κομμάτια επιλεγούν τυχαία, ποια είναι η πιθανότητα να μπορούν να σχηματίσουν ένα τρίγωνο;
🔎 Ο Μαθηματικός DC Johnson και η Γεωμετρική Προσέγγιση
Για να σχηματιστεί ένα τρίγωνο, πρέπει να ικανοποιείται η γνωστή ανισότητα του τριγώνου:
Κανένα από τα τρία κομμάτια δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των άλλων δύο.
Ο DC Johnson έδωσε μια κομψή γεωμετρική λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Viviani.
📐 Η Γεωμετρική Λύση
Ας φανταστούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου το ύψος είναι ίσο με το μήκος της αρχικής ράβδου (ας υποθέσουμε ότι είναι 1).
Το θεώρημα του Viviani λέει ότι το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε εσωτερικού σημείου του τριγώνου από τις τρεις πλευρές είναι ίσο με το ύψος του. Αυτό σημαίνει ότι κάθε πιθανός τρόπος να σπάσει η ράβδος αντιστοιχεί σε ένα σημείο μέσα στο τρίγωνο.
🔺 Πότε τα Κομμάτια Σχηματίζουν Τρίγωνο;
Για να σχηματιστεί ένα τρίγωνο, κάθε κομμάτι πρέπει να είναι μικρότερο από το μισό του συνολικού μήκους. Στη γεωμετρική αναπαράσταση, αυτό σημαίνει ότι οι τρεις περιοχές που αποκλείονται σχηματίζουν τρεις σκιασμένες ζώνες μέσα στο ισόπλευρο τρίγωνο.
🔢 Τελική Απάντηση
Το εμβαδόν της αποδεκτής περιοχής μέσα στο τρίγωνο είναι 1/4 του συνολικού εμβαδού.
Άρα, η πιθανότητα να μπορέσουν τα κομμάτια να σχηματίσουν τρίγωνο είναι 1 προς 4 ή 25%.
📜 Πηγή:
C. Haigh, «The Glass Rod Problem», Mathematical Gazette 65:431 (Μάρτιος 1981), 37-38.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου