❓ Πώς υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα με ασύμπτωτο μέσα στο διάστημα ολοκλήρωσης;

Ένα $\textbf{γενικευμένο ολοκλήρωμα δεύτερου τύπου}$ είναι ένα ορισμένο ολοκλήρωμα που υπολογίζεται σε ένα διάστημα στο οποίο η συνάρτηση παρουσιάζει μια άπειρη ασυνέχεια (δηλαδή, ασύμπτωτο).

Εάν αυτή η ασυνέχεια εμφανίζεται σε ένα άκρο του διαστήματος, απλώς δημιουργήστε μια εικονική μεταβλητή και υπολογίστε το όριο όπως σε ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα πρώτου τύπου. Εάν η ασυνέχεια εμφανίζεται εντός του διαστήματος, χωρίστε το ολοκλήρωμα σε δύο επιμέρους ολοκληρώματα και υπολογίστε τα ξεχωριστά χρησιμοποιώντας την εικονική μεταβλητή.

Για παράδειγμα, εάν η συνάρτηση $f(x)$ έχει μια ασύμπτωτο στο $x = 1$, τότε:

$\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx = $

$=\lim_{b_1 \to 1^-} \left[ \int_{0}^{b_1} f(x) \, dx \right] + \lim_{b_2 \to 1^+} \left[ \int_{b_2}^{2} f(x) \, dx \right].$