Θεωρήματα της Προβολικής Γεωμετρίας: Πάππος, Desargues, Pascal

Θεώρημα του Πάππου 

Έστω τρία διακριτά σημεία $A$, $B$, $C$ πάνω σε μια ευθεία $d$, και τρία άλλα σημεία $A'$, $B'$, $C'$ πάνω σε μια άλλη ευθεία $d'$. 

Ορίζουμε τις τομές: 

$E = (AB') \cap (A'B), \quad F = (AC') \cap (A'C)$

$\quad G = (BC') \cap (B'C)$

Τότε, τα σημεία $E$, $F$, $G$ είναι $\textit{συνευθειακά}$. 

Διπλό Θεώρημα του Πάππου

Το θεώρημα του Πάππου μπορεί να ``διπλασιαστεί'', δηλαδή να μετατραπεί μέσω της δυικότητας, αντιστρέφοντας τους ρόλους σημείων και ευθειών. 

Έστω τρεις ευθείες $a$, $b$, $c$ που διέρχονται από σημείο $D$, και τρεις άλλες ευθείες $a'$, $b'$, $c'$ που διέρχονται από σημείο $D'$. 

Ορίζουμε: 

$P = a \cap b', \quad Q = a \cap c', \quad Q' = a' \cap c,$

$\quad R = b \cap c', \quad R' = b' \cap c$

Τότε, οι ευθείες $PP'$, $QQ'$, $RR'$ διέρχονται από $\textit{κοινό σημείο}$. 

Θεώρημα του Desargues

Δύο τρίγωνα $ABC$ και $A'B'C'$ λέγονται $\textit{προοπτικά από σημείο}$, αν οι ευθείες $AA'$, $BB'$, $CC'$ τέμνονται όλες στο ίδιο σημείο. 

Τότε, τα σημεία των τομών: \[ P = AB \cap A'B', \quad Q = AC \cap A'C', \quad R = BC \cap B'C' \] είναι $\textit{συνευθειακά}$.

Αντίστροφο (Δυικό) Θεώρημα του Desargues

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους να τέμνονται σε $\textit{συνευθειακά σημεία}$, τότε οι ευθείες που ενώνουν αντίστοιχες κορυφές τέμνονται στο ίδιο σημείο (είναι $\textit{προοπτικά από ευθεία}$). 

Θεώρημα του Πασκάλ

Έστω έξι σημεία $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ πάνω σε ένα κωνικό (π.χ. έλλειψη, παραβολή ή υπερβολή). Αν σχηματίσουμε εξάγωνο με κορυφές αυτά τα σημεία με οποιαδήποτε σειρά, τότε οι τομές των ζευγών απέναντι πλευρών: \[ E = AB' \cap A'B, \quad F = AC' \cap A'C, \quad G = BC' \cap B'C \] είναι $\textit{συνευθειακά}$. 

Αυτό είναι γνωστό ως το $\textit{εξάγραμμα του Πασκάλ}$. 

Διπλό Θεώρημα του Pascal (Θεώρημα του Brianchon)} 

Το δυικό του Πασκάλ, γνωστό ως $\textit{θεώρημα του Brianchon}$, αναφέρεται σε ευθείες που εφάπτονται σε μία κωνική τομή (π.χ., έλλειψη, παραβολή, υπερβολή). Έστω έξι εφαπτόμενες ευθείες $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$, και οι τομές: \[ P = a \cap b', \quad Q = a \cap c', \quad R = b \cap c' \] Τότε, οι ευθείες που ενώνουν τα σημεία $P$, $Q$, $R$ διέρχονται από $\textit{κοινό σημείο}$.

Παρατηρήσεις

• Το θεώρημα του Πασκάλ είναι γενίκευση του Πάππου: οι ευθείες μπορούν να θεωρηθούν ως εκφυλισμένα κωνικά.
• Στο δυικό επίπεδο, κάθε σημείο πάνω σε κωνικό αντιστοιχεί σε μία εφαπτομένη του δυικού.
• Υπάρχουν 60 διαφορετικές ευθείες του Πασκάλ για 6 σημεία πάνω σε μία κωνική τομή που οδηγούν στα 60 σημεία Kirkman.